Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (x-

Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) = 0 yang mungkin adalah 16,5

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎

Pendahuluan

☞ Definisi Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan bentuk persamaan yang mempunyai dua akar atau nilai x yang memenuhi yakni x₁ dan x₂

☞ Bentuk umum persamaan kuadrat :

[tex]\rm ax^2+bx+c=0[/tex]

_____________________________________

Keterangan :

a = koefisien x²

b = koefisien x

x = variabel

c = konstanta

_____________________________________

Berdasarkan "Teorema Vieta" penjumlahan dan Perkalian akar-akarnya adalah sebagai berikut :

Penjumlahan akar-akarnya

[tex]\Rightarrow \rm x_1+x_2 = \frac{-b}{a}[/tex]

Perkalian akar-akarnya

[tex]\Rightarrow \rm x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex]

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎

Pembahasan

☞ Dari soal diketahui bahwa :

[tex]\rm (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) = 0[/tex]

Dimana a , b , dan c merupakan bilangan satu digit berbeda

☞ Ditanya :

x₁ + x₂ = max ?

☞ Jawab :

Dari soal di atas saya akan menggunakan dua cara untuk mencari rumus penjumlahan akar-akarnya yakni yang pertama mengoperasikan persamaan tersebut dan yang kedua adalah menyederhanakan.

[tex]\boxed{\boxed{\huge \Downarrow \rm Cara~1\Downarrow}}[/tex]

Dari persamaan di atas dapat dioperasikan simak langkah-langkahnya dibawah ini :

[tex]\begin{aligned}\rm (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)&= 0 \\\rm (x^2-bx-ax+ab)+(x^2-cx-bx+bc)&=0 \\\rm 2x^2-ax-2bx-cx+ab+bc&=0 \\\rm 2{\bf x}^2-(a+2b+c){\bf x}+b(a+c)&=0\end{aligned}[/tex]

Perhatikan bahwa bentuk akhir berupa persamaan kuadrat, misal Koefisien x² dapat dinyatakan sebagai p, koefisien x dinyatakan dalam q dan konstantanya r maka :

[tex]\begin{array}{clclclc}\bf p&=\rm 2 \\\bf q&=\rm -(a+2b+c) \\\bf r&=\rm b(a+c)\end{array}[/tex]

Sehingga dengan "Teorema Vieta" rumus penjumlahan akar-akarnya :

[tex]\begin{aligned}\rm \frac{-q}{p}&=\rm x_1+x_2 \\\rm \frac{(a+2b+c)}{2}&=\rm x_1+x_2 \\\rm \frac{a}{2}+\frac{\cancel{2}b}{\cancel{2}}+\frac{c}{2}&=\rm x_1+x_2 \\\bf b+\frac{a+c}{2}&=\bf x_1+x_2\end{aligned}[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\huge \Downarrow \rm Cara~2\Downarrow}}[/tex]

Dari bentuk persamaan tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut :

[tex]\begin{aligned}\rm (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) &= 0 \\\rm (x - b)\bigg[(x - a) + (x - c)\bigg]&= 0 \\\bf (x - b)\bigg[2x - (a + c)\bigg] &= 0\end{aligned}[/tex]

Perhatikan bahwa bentuk di atas merupakan faktor persamaan kuadrat yang akar-akarnya :

» Akar pertama (x₁)

[tex]\begin{aligned}\rm x_1-b&= \rm 0 \\\bf x_1&= \bf b\end{aligned}[/tex]

» Akar kedua (x₂)

[tex]\begin{aligned}\rm 2x_2-(a+c)&= \rm 0 \\\rm 2x_2&= \rm a+c \\\bf x_2&= \bf \frac{a+c}{2}\end{aligned}[/tex]

Maka penjumlahan akar-akarnya :

[tex]\rm x_1+x_2= b+\frac{a+c}{2}[/tex]

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎

Penyelesaian

Dari cara 1 dan 2 didapat bahwa rumus penjumlahan akar-akarnya adalah :

[tex]\boxed{\rm x_1+x_2= b+\frac{a+c}{2}}[/tex]

Karena, yang ingin kita cari jumlah akar terbesar maka b harus maksimum. Sedangkan akar yang dimaksud terdiri dari bilangan satu digit yang berbeda, maka b haruslah 9 , dengan a = 8 dan c = 7 atau sebaliknya.

Dan diperoleh jumlah terbesarnya :

[tex]\begin{aligned}\rm 9+\frac{8+7}{2}&=\rm (x_1+x_2)_{max}\\\rm 9+\frac{15}{2}&=\rm (x_1+x_2)_{max}\\\rm 9+7,5&=\rm (x_1+x_2)_{max}\\\bf 16,5&=\bf (x_1+x_2)_{max}\end{aligned}[/tex]

∴ Jumlah Terbesar yang mungkin adalah 16,5

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎

Kesimpulan

Jadi, jika a , b , dan c bilangan 1 digit yang berbeda. Jumlah terbesar akar-akar persamaan (x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) = 0 yang mungkin adalah 16,5

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎

Pelajari Lebih Lanjut :

1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat : https://brainly.co.id/tugas/40995462
2. Menentukan Persamaan kuadrat baru : https://brainly.co.id/tugas/40871317
3. Menentukan a/b+b/a jika a dan b akar suatu persamaan kuadrat : https://brainly.co.id/tugas/34212164

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎

Detail Jawaban

Mapel : Matematika

Kelas : IX

Materi : Persamaan kuadrat - Bab 9

Kode Kategorisasi : 9.2.9 (Kelas 9)

Kode Mapel : 2

Kata Kunci : Menentukan nilai maksimum penjumlahan akar Persamaan kuadrat

✎≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡≡✎